Tükrök (Szalkai István)

← 18. Fények és árnyak 20. Délibáb →

19. Tükrök

" Túdom: a tükröket már több, mint ötezer éve már az egyiptomiak is ismerték (nem csak a fáraókislány szépsége miatt, hanem a piramisok belsejébe is nagy tükrökkel "vitték le" a napfényt), sőt az őskislány minden pocsolyában megnézte magát - mi újat mondhat nekünk a Tanár úr? "
Hát, Nyájas Olvasóm, a mobiltelefonod is tükröz, ez újabb - na ugye!

Ebben a fejezetben csak síktükrökkel van helyünk kicsit foglalkozni, a domború-, homorú-, henger- és gömbtükrök egy vastag könyvet tennének ki.

A mobiltelefon mindig kéznél van, így egy kacattal (a tükör) kevesebbet kell a női táskába tenni. Például, ha valami begurul az autó alá a parkolóban (cumisüveg, diadém, egyetemi jegyzet, slusszkulcs,...), és nincs nálunk periszkóp, és természetesen nem akarunk öltönyben az autó alá mászni. Nos, ekkor egyszerűen egy síktükröt kell kb. 45^o -os szögben az autó alá tartanunk, és máris látjuk az elgurult tárgyat. Ha bal kezünkben van a tükör, jobb kezükben egy esernyő vagy sétapálca, akkor máris ki tudjuk "halászni" az autó alól. Én a szekrény alól is így csalogatom ki a tárgyakat, mert fáj a hátam.
Az ágy vagy autó alatti kereséskor az árnyékokat is érdemes figyelnünk, erről már az előző 18. Fények és árnyak fejezetben már részletesebben írtunk.

Az autó alját is így szoktam rendszeresen ellenőrizni kavicsfelverődést, rozsdát illetően.

Nem kell ahhoz fogorvosnak vagy kéményseprőnek lennei, hogy tükörrel segítsünk magunknak: én autószereléshez rendszeresen használok zsebtükröt (Ford Focus, reflektor lámpacsere). Igaz, a fogorvosok és kéményseprők tükre általában nem síktükör, de a homorú- és domború tükrök csalóka képet adnak: a méreteket és a távolságokat megváltoztatják.

A periszkópot manapság általában csal gyerekjátéknak használjuk, elsősorban katonai és ipari alklamazásai vannak. Részletesebben lásd a http://hu.wikipedia.org/wiki/Periszkóp honlapon.

Az előző 18. Fények és árnyak fejezet végén már láttuk, hogy mikor lehet / nem lehet az ablakon be- illetve kilátni (a sötétebb helyről látni a világosabb helyet). Figyeljük meg a környezetünkben a tükröződéseket is: az ablaküveg sötét háttérrel a legolcsóbb tükör!

Mekkora tükröt vegyünk a falra, hogy tetőtől talpig láthassuk magunkat? Természetesen minél nagyobbat, mint a régi kastélyok több méteres tükrei! A a mai lakásokban erre nincs hely, a lehető legkisebb méretet kell kiszámítanunk.
A rajzról könnyen leolvasható, hogy a tükör legfelső szélének éppen a szemünk és fejünk búbja között kell félúton lennie, és hasonlóan a tükör legalsó része pontosan lábujjunk és szemünk között, megint félúton. Ehhez pedig pontosan akkora tükör elegendő, mint testmagasságunk fele (a tükröt persze ennek megfelelően kell felhelyeznünk a falra)! Megjegyezzük, hogy a tükörtől való távolság lényegtelen: akármilyen messze illegetjük vagy közel billegetjük magunkat, ugyanazt az egészalakos látványt kapjuk.

Kézügyesség nélkül is készíthetünk szép, tükörszimmetrikus ábrákat: egy papírlap egyik felére nedves festékkel rajzolunk valamit, majd óvatosan ráhajtva a másik oldalát, széthajtás után a rajz tükörképét kapjuk a papír másik felén. Az össze- és széthajtást óvatosan kell csinálnunk, érdemes a papírt előre félbehajtanunk, a hajtási élt körömmel "kisímítanunk". A festék is csak alig legyen nedves, vagyis mindenképpen egy felnőtt segítsége kell óvodás unokatestvérünk mellé. A mellékelt rajz úgy készült, hogy óvodában (!) egy festékes vékony zsinórt húzogattak a félbehajtott papír két fele között.
Gimnáziumban és egyetemen tudományosan is így tanítják a tengelyes tükrözést: "Ki kell lépnünk a térbe a tengelyes tükrözés elvégzéséhez, az adott tengely körül kell térben elforgatnunk az egész síkot" - mint a következő ábra mutatja (a középső "lap" csak a forgatás folyamatát jelzi):

Ugyanaz az ábra, mint óvodában! Miért nem így tanítják a tengelyes tükrözést az általános iskolákban? Nem a zsebtükör törékenysége miatt félek, hanem a gyerekeknek a tükör mögött kellene látni a (virtuális) tükörképet, de hiába keresik, ott nincs. Sok olyan jó (általános- és közép-) iskoláról hallottam, ahol a tengelyes tükrözést átlátszó papírral (átütő-, hártya- vagy pausz-) tanítják, a papírt oda-vissza forgatva, mint a fenti ábrán látható!

A fenti, "papírforgatásos" tengelyes tükrözési technikát iskolában is használhatjuk, függvények invertálásakor, akár dolgozatok írása alatt is. A közölt módszer nem puska, hanem teljesen legális, sőt tudományos módszer! A következőkben ezt a módszert részletezzük kicsit.

Függvény inverzének grafikonját tükrözéssel kell megrajzolni: az eredeti függvény grafikonját az y=x egyenletű egyenesre, mint tengelyre kell tükrözni. Ezt a legegyszerűbben úgy hajthatjuk végre, ha a papírlapot úgy fogjuk meg, mintha a zöld egyenes két végét fognánk, és a papírt egyszerűen megforgatjuk (mint egy "hurkapálca" körül) 180^o-kal. Ekkor a papír hátoldalán látjuk a keresett ábrát (esetleg a papírt fény felé tartjuk). Látható, hogy az x és y tengelyek helyet cseréltek, míg az y=x egyenes a helyén maradt. A grafikon pedig éppen a függvény inverzét mutatja!
Kedves Olvasóm, tessék ezt most azonnal kipróbálni: nyomtasd ki színesben a fenti baloldali ábrát, és gyakorold a forgatást, mert közel a dolgozat!
Statisztika: ez a módszer már sok egyetemista és középiskolás matematika jegyét mentette meg!

Most térjünk vissza a "gyakorlati életbe" .

Gyerekkorom uncsi geometria feladata volt a két tükör meg egy harmadik: "Mutassuk meg, hogy a két, egymással derékszöget bezáró síktükörre akárhonnan induló fénysugár önmagával párhuzamosan tér vissza." A feladat megoldása nem olyan nehéz, de mire jó?
Állítsunk két síktükröt az asztalra egymás mellé derékszögben, tükröző felületük legyen "befelé". Kísérletezzünk zseblámpával járkálva a szobában: az asztal síkjában fekvő bármelyik fénysugár, amit a tükrökre irányítunk akárhonnan, önmagával párhuzamosan visszaverődik ugyanoda, ahol mi állunk. A zseblámpát tartó kezünket biztosan megvilágítja a (bumerángként) visszaérkező fénysugár, tehát szemünket nem érdemes oda tennünk. A kísérlet sokkal látványosabb lézer-mutatóval, de NAGYON KELL VIGYÁZNUNK: a lézer SZEMÜNKBE vagy a nézők szemébe verődve maradandóan károsítja a látást! A visszaverődő fénysugarat inkább egy kartonpapíron fogjuk fel!
Ha a két tükörlap közé az asztalra egy harmadikat fektetünk, tükröző felével felfelé, akkor kísérletünk még VESZÉLYESEBB lesz: már nem csak az asztal síkjában haladó, hanem a szobában bárhonnan a tükrökre irányított fénysugár ugyanoda verődik vissza. Hol is használják fel ezt a jelenséget?
A válasz: A régebbi kerékpárprizmák (lásd az ábrát alább) belűlről kis kockák csúcsait mutatják. A csúcsokban találkozó kis lapocskák felelnek meg a feladat három tükrének. Az autó fényszórójának fénye visszaverődés után mindig a vezető szemébe érkezik, ezért látja akárhonnan a kerékpár prizmáját sötétben. Manapság azonban inkább kis félgömböcskék vannak a kis kockák helyett, talán csak az olcsóbb gyártási technológia miatt.

Egy rövid záró megjegyzés: a sok kavargás (tükrözés) miatt betűtésztát én nem javaslom diszlexiás gyermeknek!

Rengeteg csodálatos és érdekes képet találunk az Interneten a tükrökkel kapcsolatban, most csak egyet említünk: http://furdancs.blog.hu/2013/11/14/a_het_mutargya_a_tukor .

A tükrözésekkel valójában átléptünk a térgeometria területére, ezt az érdekes témát a Mindennapi matematika (sajnos még kiadatlan) könyvem "Egyéb tükröző felületek" és az "Anamorfózisok" fejezeteiben folytatom. A könyv tartalomjegyzékét a honlapomon megtalálhatjátok: Mindennapi matematika .

Fénytöréssel már a 13. Fuldokló kimentése fejezet végén is foglalkoztunk, egy érdekes játékot pedig 7. A tojás nem törik? fejezetben mutattunk.

Jó szórakozást!

Képek forrása: Internet, a rajzokat a Szerző és Szalkai Évi készítette.

← 18. Fények és árnyak 20. Délibáb →

Szalkai István
Pannon Egyetem
Matematika Tanszék
Veszprém
szalkai@almos.uni-pannon.hu
2014.12.03.