←   6. Billeg                                         8. Tojás belül   →




7. A tojás nem törik? (Boltívek)



    "Gyengén bánj vele [Vigyázz rá], mint a hímes tojással!" Tudjuk, hogy nem a hímes festéssel, hanem a tojás héjával van a gond: a boltból (falusi néni udvarából) is csak nagyon óvatosan hozzuk haza ezt a finom, de kényes eledelt. (Érdekesség: pár száz évvel ezelőtt a nagy festők a festékek keveréséhez tojás sárgáját használták kötőanyagként.)
    A baj csak akkor kezdődött, amikor barátunktól egy doboz fürjtojást kaptunk ajándékba:


(A fürjekről részletesebben olvashatunk a Wikipédián: Wikipédia: Fürj). Igaz, hogy ezek csak 2-3 cm tojásocskák, de annál finomabb rántotta lesz - gondoltuk. Csakhogy alig tudtuk feltörni az apró golyócskákat! Nem, a héja nem vastagabb a tyúktojásénál, sőt! Anyaga is mindkettőnek ugyanaz: mész, megkérdeztem egy másik, kémikus barátomat! Az alakja más? Nem, mindegyiknek tojás alakja van!
    Tehát a fürjtojás héja amiatt erősebb a tyúktojásénál, mert kisebb? Igen: a kisebb tojásnak nagyobb a görbülete ("görbültsége"), hiszen hamarabb meg kell "kerülnie azt a 360o fokot, mert kisebb a kerülete. Igen, egy drótdarabot (műanyag vonalzót) minnél jobban meggörbítünk, vagyis nagyobb görbülete lesz, annál kisebb karikát látunk magunk előtt!
    Hogy a nagyobb görbültség miért okoz nagyobb teherbírást (akár tojáshéjnál, akár diónál vagy papírnál), az alábbi ősrégi, egyszerű kísérlet segít megérteni. A görbület matematikai definíciója kicsit bonyolultabb, a 10. Kanyarodunk fejezetben foglalkozunk vele részletesebben.

7.1. Egy játékos kísérlet

    Vegyünk elő egy kis papír vagy rajzlap darabot, esetleg levelezőlapot (erős kartonpapírt semmi esetre sem!). Mennyi pénzérmét bír meg egy papír-polc (híd)? Ez attól függ, hogy miként tesszük le a papírt, mondjuk két könyv közé.
"Természetesen" csak rátesszük:



Lehet, hogy így a papírdarab még saját súlyát sem bírja el, lehajlik, de legjobb esetben is csak egy-két érmét (pl. 100,-Ft) bír el.
    Hogyan lehetne másképpen? Például ha ívelten felfelé hajlítjuk kissé, végeinél esetleg odaszorítjuk a könyvekhez:


Igen, most már akár egy-két tucat érmét is kibír!
    Emlékezzünk csak : amikor nagy folyami hídon megyünk keresztül gyalog (de autóval is): mennyit kell felfelé majd utána lefelé mennünk - mert így a vasbeton híd is sokkal több terhet bír ki - már az alakja miatt is! (A boltívekről az utolsó alfejezetben még mutatunk néhány gyönyörű képet.)
    A boltíves papírhídnál még akár tízszer többet is kibír a harmonikaszerűen oda-vissza hajtogatott híd:


Tessék kipróbálni! A harmonika-papírhíd meglepően sokat kibír! No, persze a fiatalok, főleg a mérnökjelölt egyetemisták mi mindenre képesek: tessék alaposan megnézni a fényképeket: http://se.sze.hu/papirhid-epito-bajnoksag-2013 , például:


    Sőt, Franciaországban még "igazi" hidat is építettek papírból, mely 20 embert is elbírt:


7.2. A gyakorlatban

    "Én ugyan a gyakorlatban nem csinálok sem papír- sem igazi hidat!" - hallom dohogásodat Nyájas Olvasóm! Nem-e? Hát amikor körültekintően összegyűrt (szakkifejezéssel: kreppelt) újságpapírt teszünk a törékeny holmi köré a dobozba (első kép):

               

vagy a cipőnkbe egy kiadós séta, ének az esőben után (középső kép)!
    A kreppelt (gyűrött) papír kicsiben olyan, mint a hatalmas acél- és faszerkezetű tornyok, hidak, bakonyi kilátók "össze-vissza" gerendái. Gyönyörködjünk kicsit a portói Lajos kiráy hídja (Portugália) matematikájában és fizikájában, melyet ugyanaz az Gustave Eiffel tervezett, mint az 1889. évi párizsi világkiállításra épített "Eiffel-tornyot" (harmadik kép).
    Ugye mindenki hallott már kreppelt papírról, ruhaanyagról, ágyneműről? Érdekesen puha tapintása van, még az A/4 írópapír is sokkal puhább lesz, ha alaposan meggyűrögetjük, kreppeljük. (No, hát ezért nem kell vasalni a krepp ágyneműt: már eleve össze van gyűrve!)

       

A hajkreppelő eszköznek is figyeljük meg a hullámosító, harmonikaszerűen hajtogató fogazatát. Bár hajunk kreppelésekor nem a hajszálak erősítése, teherbírása a célunk (bár a hajfonat teherbírásáról is mesélhetnék sokat), ha van ilyen eszközünk otthon, akkor segítségével könnyen hajtogathatjuk a bevezető kísérletben vizsgált, legerősebb papírhidat is!
    A harmonikaszerűen összehajtott, megerősített papírral nap mint nap találkozunk. Nézzük meg egy erős dobozkarton (hullámkarton) felépítését:

               

ráadásul itt a harmonika-papírokat még jobbról-balról meg is ragasztották, el ne csússzanak, ez megint az erősséget növeli. A papír gyümölcsösládák több kilogrammot is elbírnak így. Ha esetleg sikerül szétszednünk (széttépnünk) egy dobozkartont az eredeti papírokra, meg fogunk lepődni: az A/4 írópapírnál alig vastagabb anyagból áll!
    Sőt, újabban sok törékeny eszközt (műszaki-, konyhai-, egyéb) kreppelt kartonpapírba csomagolnak (habszivacs helyett), mint a tojástartók anyaga - no, és itt vissza is kanyarodtunk a tojásokhoz!
    Ehhez hasonlók a műanyag (sőt néha a vaslemez-) kannák, nagyméretű tartályok oldalai is:

               

a hullámosítás szintén az oldalak erősítését szolgálja, mint az autóutak mellett szaporodó szalagkorlátoknál:


7.3. Még egy játék

    A harmonikaszerűen összehajtogatott papírral másutt is találkoztunk már. Ennek megértéséhez nyomtassuk ki az alábbi "képet" körülbelül levelezőlap méretben:


majd hajtogassuk oda-vissza harmonikaszerűen úgy, hogy a színes fele legyen kívül, és természetesen a két (elbújtatott) kép csíkjai között legyenek a hajtások. Ha most kissé oldalról-felülről megfelelő szögből nézzük, akkor csak egy MACSKÁT, ellenkező oldalról nézve pedig egy EGERET látunk! Tessék kipróbálni: óvodás unokatestvért jól el lehet szórakoztatni vele. Sőt, bármely két azonos méretű képet is kivághatunk újságból, csíkokra vágva felváltva ragasztunk egy fehét papírra és máris hajtogathatunk, nézegethetünk kedvünkre.
    És ha mindezt nagyon kicsiben (körülbelül tizedmilliméter hajtásokkal) képezeljük el, akkor előttünk van azon műanyag gyermekvonalzók "titka", amelyeket kicsit forgatva egyszer MACSKÁT, máskor EGERET mutatnak! Ugye, milyen ötletes! Mellékesen a műanyag vonalzók is kissé erősebbek lesznek ezáltal, ami gyermekeknél nem elhanyagolható.
    Ezt a képváltogató vonalzót sokan tévesen "hologramos" vonalzónak hívják. A hologram egészen más, a http://www.vilaglex.hu/ címen egészen jó ismertetőt találhatunk a hologramokról.
    A harmonikaszerűen összekevert képekhez hasonló játékot láthatunk a Csodák Palotája interaktív játszóházban:


Forrás: http://www.csopa.hu/

Itt egy keretben tükörcsíkok és üres hézagok váltakoznak. Két "játékos" (lehetőleg fiú és lány) ül egymással szemben. Mit látnak? A tükörcsíkokban saját magukat, míg a hiányzó részeket kitölti a szemben ülő képe, egész mókásan kiegészítve egymást! Érdemes akár otthon is kipróbálni!

7.4. Boltívek

    Már az ívelt papírhídnál is eszünkbe jutottak a hidak. Hát persze, a boltív is egy speciális ív (angolul egyszerűen csak arch["ív"]). A boltívekről részletesen olvashatunk matematia- és fizika- tankönyvekben, interneten, mint például a Wikipédián vagy a Wikipedia.org honlapon. Egy egyszerű számítási mintafeladatot a KöMaL tesztversenyén találhatunk:


2010. december, fizikai feladatok , 4. feladat a lap alján.
    Búcsúzóul már csak pár gyönyörű képet választottunk: figyeljük meg a műszaki megoldás (apró kövekból áthidalót építeni egy nagy terem fölött) és az esztétikai szépség összhangját!


       
Kairouan(Tunézia)         A párizsi Notre Dame


Csontvári Kosztka Tivadar: Római híd Mostárban (1903)


2010





Képek forrása: Internet








←   6. Billeg                                         8. Tojás belül   →




Szalkai István
Pannon Egyetem
Matematika Tanszék
Veszprém
szalkai@almos.uni-pannon.hu
2014.12.03.