←   9. Tehetetlen                                         11. Nyugaton   →




10. Kanyarodunk






    Minden görbül, kanyarodik, ide-oda, szinte már az egyenes a kivétel! A 7. A tojás nem törik? fejezetben cikk-cakkosan hajtogatott papírral modelleztük a boltívek és a tojáshéj görbületét. Nos, ha a cikk-cakkok méretét egyre kisebbre zusugorítjuk, akkor egészen (majdnem) sima ívet, görbét kapunk, vagyis kisimítjuk a töröttvonalat. (A matematikai precíz definíció persze kicsit bonyolultabb, a kiegyenesíthető görbéket latinul rektifikálhatónak hívják.) Az angol arch szó egyszerre jelent ívet, görbét, és boltívet is: http://en.wikipedia.org/wiki/Arch

    Először azt vizsgáljuk meg, mi is, mekkora is egy ív (vonaldarab) görbültsége.

10.1 A görbület és az evoluta

    Egy vonal (ceruzarajz, autóút, cérnaszál, stb. össze-vissza kanyarodik, ráadásul a kanyarodás (vagy behajlás, görbültség) mértéke pontról pontra változik. Hogyan lehetne ezt változó mennyiséget a görbe egy pontjában megmérni?
    Amikor autót vezetünk, a kormánykerék minden pillanatban az út görbültségének nagyságát mutatja: a jobban elfordított ("alászedett") kormány jobban kanyarodó (görbülő) utat jelez. Ha most a kormánykereket (inkább csak képzeletben) stabilan tartanánk ebben a helyzetben, akkor a jármű egy kört írna le. Az alábbi, jobboldali link a Sörgyári capriccio [szeszély] filmre mutat: a filmben körülbelül 43'40" - 44'00" és 44'50" - 44'55" között találhatjuk azt a jelenetet, amikor Francin nem tudja elengedni a kormányt, és így eredeti pályáját körmozgással folytatja ... .(A teljes film kb. másfél óra.)


       


    Ez a kör egyrészt egészen jól illeszkedik, majdhogynem "simul" a görbéhez, másrészt jól mutatja a vonal görbültségét: minél kisebb a kör sugara, annál nagyobb a kör és a görbe görbültsége. Ezt a kört a (függvény)görbe simulókörének hívják. A görbültség matematikai definíciója is ez:

görbültség := 1/sugár


A görbültség matematikai alapjairól és kiszámításának módjáról a Szerző Szemléletes analízis I. tankönyvében és a http://hu.wikipedia.org/wiki/Görbület honlapon olvashatunk.
    Az alábbi Excel alkalmazás segítségével is tanulmányozhatjuk a görbület változását és kiszámítását. Jó szórakozást!




    A következő mechanikai (és matematikai) szakkifejezéstől sem kell megijednünk: Evoluta:= Egy síkgörbe görbületi középpontjainak mértani helye. A fenti Excel alkalmazásban mi is láthatjuk az adott kék görbe evolutáját: mindössze a görbén kell végighaladnunk a sárga ponttal, és a zöld pontok sorban kirajzolják a simulókörök középpontjait, vagyis az evolutát.

    A következő alfejezetben egy újabb érdekes, kapcsolódó görbét mutatunk be, amivel szintén találkozunk a hétköznapokon (még az is, aki nem tud autót vagy biciklit vezetni).

10.2 Az evolvens

    A "kördobozos" sajtokat hogyan szoktuk felbontani? Erős cérna vége lóg ki az oldalán, ezzel kell körbetépnünk a doboz oldalát leragasztó papírt. Bizonyára észre sem vetted, Kedves Olvasóm, hogy ezt a feladatot Te is matematikus módon szoktad megoldani: a cérna végét erősen tartva húzod körbe. Nos, ezalatt a feszülő cérna egyenes marad, és ez az egyenes mindvégig érinti a kört (a középiskolában tanult, Euklideszi geometriával összhangban). Kezed, Nyájas Olvasóm, a cérna végével a levegőben egy fonálgörbét, más néven lefejtési görbét, azaz egy evolvenst, pontosabban a körevolvenst írja le!

   

    A matematikai definíció most sem bonyolult: Bármely görbe evolvensét (fonálgörbéjét, lefejtési görbéjét) úgy kapjuk meg, hogy a görbére felcsévélünk egy fonalat, majd mindig feszesen tartva lecsévéljük róla, és a fonal végpontja által bejárt pontok mértani helye az evolvens.
    Felhívjuk a figyelmet, hogy egy rögzített görbének általában több evolvense lehet: a fonalat másik pontjából kezdjük el lefejteni, hosszabb cérnát fejtünk le, stb.! Az evolvensekről általában és bővebben olvashatunk ismét például a Wikipédián, a http://hu.wikipedia.org/wiki/Evolvens honlapon. A honlap legelső, jobb oldalon látható ábrája éppen a körevolvens.
    Most egy érdekességet emelünk ki: az evoluta és az evolvens egymás megfordítottjai. Pontosabban: bármely görbe evolutájának egyik evolvense pontosan az eredeti görbe (mert ugye több evolvens is van), továbbá bármely görbe evolvensének evolutája ismét az eredeti görbe.

    A gyakorlatban is még sok más nevezetes görbével találkozhatunk, nem csak a mechanika és matematika tankönyvek lapjain!

10.3 A vonszolási görbe

    Hivatalos (nemzetközi) nevén traktrix. Még 100 évvel ezelőtt is úgy tanították, hogy egy kisgyerek halad a járda szélén és egy madzagon húz egy kis kerekes játékot, ami kezdetben az úttest közepén van, a kis játék nyomát a sárban látjuk:




    Azonban mi is nap mint nap találkozunk a traktrix-szal: amikor autóval parkolunk a járdaszegély mellett, azzal párhuzamosan. A kisgyerek helyett most első kerekünk van, a kis játék helyett pedig a hátsó kerekünk. Ez a feladat azért nehéz, mert a járdától távolabbi kerék egyre lassabban közeledik a járdához (az x tengelyhez).
    Bár a két autó közé történő "Autóparkolás" probléma lényege a traktrix, a feladat optimális megoldásának geometriája egészen más. Ezt például Norbert Herrmann Hannoveri matematikus professzor Mathematik ist überall (Matematika mindenütt), http://www.amazon.de/dp/3486582437/ . . . munkájából ismerhetjük meg:

               

Norbert Herrmann honlapjának címe is már önmagáért beszél, érdemes közelebbről megnéznünk: http://www.mathematikistueberall.de/ ("mindenütt matematika").

    Haladjunk tovább!

10.4 Kerékpározáskor

    Már a kerékpár is nagyon bonyolult jármű, legalábbis elméletileg, mert a hátsó kerék "csak követi" az elsőt, a vázszerkezet húzó (és mereven megtartó) hatása miatt. Ezt a mondatot persze precízen is le kellene írni matematikailag, le is lehet írni (nem most), de kicsit bonyolultan.
    Már az a kérdés is nehéz középiskolás feladat, amikor a kormányt rögzítetten tartjuk, vagyis csak egy körben "kétkerekűzünk":


A KöMaL-ban kitűzött feladatokat és a megoldásokat a következő helyeken olvashatjuk: Fizika teszt feladatok, 9-10 osztály, 2009.január és Fizika teszt feladatok, 11-12 osztály, 2009.január.

    Már egy tizenéves kerékpározó gyermek is megkérdezheti váratlanul: "Apúúú! Ha menetközben a kormányt egyenletesen forgatom jobbra-balra, akkor milyen görbét írok le?" (Mármint az első kerékkel.) Nos, mit is mondhatunk ennek a gyerkőcnek? Hát a precíz matematikai bizonyítást végképp ne! Esetleg annyit: "Óvatosan forgasd a kormányt! Le ne ess!!!!"

    Ed Bender nyugalmazott matematikus Sports by the Numbers elnevezésű weboldalán keressük meg a Sherlock Holmes and Bicycle Tracks.pdf fájlt. Ebben hasznos matematikai tanácsokat találunk Scherlock Holmes-nak arra a kérdésére, hogy a földön látott két keréknyom közül melyik lehetett az első és melyik a hátsó kerék, ami nélkül nem lehet eldönteni, hogy a kerékpározó merre ment: jobbra vagy balra?


Esetleg a két nyom nem is egyetlen kerékpártól, hanem két monociklitől(unicycle), vagyis egykerekű biciklitől származik? Ez nem Scherlock Holmes, hanem a matematikusok feladata! Egykerekűt leginkább csak cirkuszban látunk, érdekességeket róla a http://hu.wikipedia.org/wiki/Egykerekű oldalon olvashatunk. [Egy megjegyzés: az egykerekű bicikli furcsa elnevezés, hiszen "bi"=kettő és "ciklus"=kör,kerék.]

10.5 A rajzolókészlet (a spirográf)

    Pontosabban fogaskerekes rajzolókészlet. Manapság inkább csak gyerekeknek veszünk ilyent, pedig nem is olyan régen, kb. 70-80 éve inkább mérnökök használták komoly munkaeszközként, számítógép hiányában!


    Az ötletes szerkezettel mindenféle cikloist, sőt epi- és hipocikloisokat is rajzolhatunk kedvünkre. "Szép, de mihaszna ábrák!" - így a Szülők. "Jó, ha egy pénzdarab gördül csúszás nélkül egy másik körül, vagy fogaskerekek a masinákban, de NEKEM mire jó ez?" - így az Olvasók. Igen, szinte minden mechanikus gépben vannak cikloisok, teli van velük az Internet, legbonyolultabb cikloisok a zongorában vannak, de a laikus mindennapjaiban mikor és hol?

    Egy autó- vagy biciklikerék bármelyik pontja egy közönséges ciklois mentén halad! ("No és?") A rátapadt sárdarab is egy darabig, majd az érintő mentén leválik róla és parabolapályán repül tovább. ("No és?") Eltalálja a hölgyek vadiúj harisnyáját! Nem! Ha a sárdarab tudná a mechanika és a matematika törvényeit, akkor bizony nem a harisnyán találná magát, hanem a sárhányóban! Ennek igazolását nem csak egyetemi tankönyvekben, hanem például a Szerző Mindennapi matematika (kézirat) könyvében, vagy egy 1963. július 14-én megjelent Élet és Tudomány ismeretterjesztő újság hátlapján is olvashatjuk:

       

Az Érdeklődőknek még az alább honlapokat ajánlhatjuk még: http://hu.wikipedia.org/wiki/Ciklois , http://en.wikipedia.org/wiki/Spirograph , sajnos magyar nyelvű oldal nincs. (A fenti honlapok szerint a spirográfot Denys Fisher találta fel, a Hasbro Company, Kahootz Toys angliai cég munkatársa szabadalmaztatta 1965-ben.)



10.6 Egyéb görbék

    Végtelen sok nevezetes és fontos görbe van még: a XIX. századig szinte kizárólag csak fogaskerékkel, mechanikai áttételekkel oldották meg a gépek mozgását, irányítását (nem csak a gyermekjátékokat), de még ma is minden mozgó eszköz alkatrészei "táncolnak" görbék mentén: varrógép, ablaktörlő, dekopírfűrész, balatoni vízhullámok, sőt még a mobiltelefon rezgő kijelzője is! Az interneten rengeteg honlapot, ábrát, animációt találunk, most csak kettőt említünk: Szalkai István -Dósa György: Kalkulus II. példatár informatikusoknak , és a St. Andrews College angol nyelvű összefoglaló honlap-ját, ahol az összes görbét és a görbék összes tulajdonságait megtaláljuk. Ezen a honlapon elolvashatjuk még az összes matematikus életrajzát is, továbbá más érdekes, fontos történeti összefüggéseket, adatokat is.

    Google-ra fel!








←   9. Tehetetlen                                         11. Nyugaton   →




Szalkai István
Pannon Egyetem
Matematika Tanszék
Veszprém
szalkai@almos.uni-pannon.hu
2014.12.03.