← 9. Tehetetlen
11. Nyugaton →
10. Kanyarodunk
Minden görbül, kanyarodik, ide-oda, szinte már az
egyenes a kivétel! A
7. A tojás nem törik?
fejezetben cikk-cakkosan hajtogatott papírral modelleztük a boltívek és
a tojáshéj görbületét. Nos, ha a cikk-cakkok méretét egyre kisebbre
zusugorítjuk, akkor egészen (majdnem) sima ívet, görbét kapunk,
vagyis kisimítjuk a töröttvonalat. (A matematikai precíz
definíció persze kicsit bonyolultabb, a kiegyenesíthető
görbéket latinul rektifikálhatónak hívják.) Az angol
arch szó egyszerre jelent ívet, görbét, és
boltívet is:
http://en.wikipedia.org/wiki/Arch
Először azt vizsgáljuk meg, mi is, mekkora is egy
ív (vonaldarab) görbültsége.
10.1 A görbület és az evoluta
Egy vonal (ceruzarajz, autóút, cérnaszál, stb.
össze-vissza kanyarodik, ráadásul a kanyarodás (vagy behajlás,
görbültség) mértéke pontról pontra változik. Hogyan lehetne
ezt változó mennyiséget a görbe egy pontjában megmérni?
Amikor autót vezetünk, a kormánykerék minden
pillanatban az út görbültségének nagyságát mutatja: a jobban
elfordított ("alászedett") kormány jobban kanyarodó (görbülő)
utat jelez. Ha most a kormánykereket (inkább csak képzeletben)
stabilan tartanánk ebben a helyzetben, akkor a jármű egy kört
írna le. Az alábbi, jobboldali link a Sörgyári capriccio
[szeszély] filmre mutat: a filmben körülbelül 43'40" - 44'00" és
44'50" - 44'55" között találhatjuk azt a jelenetet, amikor Francin
nem tudja elengedni a kormányt, és így eredeti pályáját körmozgással
folytatja ... .(A teljes film kb. másfél óra.)
Ez a kör egyrészt egészen jól illeszkedik, majdhogynem "simul"
a görbéhez, másrészt jól mutatja a vonal görbültségét: minél
kisebb a kör sugara, annál nagyobb a kör és a görbe
görbültsége. Ezt a kört a (függvény)görbe simulókörének
hívják. A görbültség matematikai definíciója is ez:
görbültség := 1/sugár
A görbültség matematikai alapjairól és kiszámításának módjáról a
Szerző
Szemléletes analízis I. tankönyvében és a
http://hu.wikipedia.org/wiki/Görbület
honlapon olvashatunk.
Az alábbi Excel alkalmazás segítségével is tanulmányozhatjuk
a görbület változását és kiszámítását. Jó szórakozást!
A következő mechanikai (és matematikai) szakkifejezéstől
sem kell megijednünk: Evoluta:= Egy síkgörbe görbületi
középpontjainak mértani helye. A fenti Excel alkalmazásban mi is
láthatjuk az adott kék görbe evolutáját:
mindössze a görbén kell végighaladnunk a
sárga ponttal, és a
zöld pontok sorban kirajzolják a
simulókörök középpontjait, vagyis az
evolutát.
A következő alfejezetben egy újabb érdekes, kapcsolódó
görbét mutatunk be, amivel szintén találkozunk a hétköznapokon (még az is,
aki nem tud autót vagy biciklit vezetni).
10.2 Az evolvens
A "kördobozos" sajtokat hogyan szoktuk felbontani?
Erős cérna vége lóg ki az oldalán, ezzel kell körbetépnünk a doboz oldalát
leragasztó papírt. Bizonyára észre sem vetted, Kedves Olvasóm, hogy
ezt a feladatot Te is matematikus módon szoktad megoldani: a cérna
végét erősen tartva húzod körbe. Nos, ezalatt a feszülő cérna egyenes marad,
és ez az egyenes mindvégig érinti a kört (a középiskolában tanult, Euklideszi
geometriával összhangban). Kezed, Nyájas Olvasóm, a cérna végével a levegőben
egy fonálgörbét, más néven lefejtési görbét, azaz egy
evolvenst, pontosabban a körevolvenst írja le!
A matematikai definíció most sem bonyolult:
Bármely görbe evolvensét (fonálgörbéjét, lefejtési
görbéjét) úgy kapjuk meg, hogy a görbére felcsévélünk egy
fonalat, majd mindig feszesen tartva lecsévéljük róla, és a fonal
végpontja által bejárt pontok mértani helye az evolvens.
Felhívjuk a figyelmet, hogy egy rögzített görbének
általában több evolvense lehet: a fonalat másik pontjából
kezdjük el lefejteni, hosszabb cérnát fejtünk le, stb.! Az
evolvensekről általában és bővebben olvashatunk ismét például a
Wikipédián, a
http://hu.wikipedia.org/wiki/Evolvens honlapon. A honlap legelső,
jobb oldalon látható ábrája éppen a körevolvens.
Most egy érdekességet emelünk ki: az evoluta és
az evolvens egymás megfordítottjai. Pontosabban: bármely görbe
evolutájának egyik evolvense pontosan az eredeti görbe
(mert ugye több evolvens is van), továbbá bármely görbe
evolvensének evolutája ismét az eredeti görbe.
A gyakorlatban is még sok más nevezetes görbével
találkozhatunk, nem csak a mechanika és matematika tankönyvek
lapjain!
10.3 A vonszolási görbe
Hivatalos (nemzetközi) nevén traktrix. Még
100 évvel ezelőtt is úgy tanították, hogy egy kisgyerek halad a
járda szélén és egy madzagon
húz egy kis kerekes játékot, ami kezdetben az úttest közepén van,
a kis játék nyomát a sárban
látjuk:
Azonban mi is nap mint nap találkozunk a traktrix-szal:
amikor autóval parkolunk a járdaszegély mellett, azzal párhuzamosan.
A kisgyerek helyett most első kerekünk van, a kis játék helyett
pedig a hátsó kerekünk. Ez a feladat azért nehéz, mert a járdától
távolabbi kerék egyre lassabban közeledik a járdához
(az x tengelyhez).
Bár a két autó közé történő "Autóparkolás"
probléma lényege a traktrix, a feladat optimális megoldásának geometriája
egészen más. Ezt például Norbert Herrmann Hannoveri matematikus
professzor Mathematik ist überall (Matematika mindenütt),
http://www.amazon.de/dp/3486582437/ . . .
munkájából ismerhetjük meg:
Norbert Herrmann honlapjának címe is már önmagáért beszél, érdemes
közelebbről megnéznünk:
http://www.mathematikistueberall.de/ ("mindenütt matematika").
Haladjunk tovább!
10.4 Kerékpározáskor
Már a kerékpár is nagyon bonyolult jármű, legalábbis
elméletileg, mert a hátsó kerék "csak követi" az elsőt, a vázszerkezet
húzó (és mereven megtartó) hatása miatt. Ezt a mondatot persze precízen
is le kellene írni matematikailag, le is lehet írni (nem most), de
kicsit bonyolultan.
Már az a kérdés is nehéz középiskolás feladat, amikor
a kormányt rögzítetten tartjuk, vagyis csak egy körben
"kétkerekűzünk":
A KöMaL-ban kitűzött feladatokat és a megoldásokat
a következő helyeken olvashatjuk:
Fizika teszt feladatok, 9-10 osztály, 2009.január
és
Fizika teszt feladatok, 11-12 osztály, 2009.január.
Már egy tizenéves kerékpározó gyermek is
megkérdezheti váratlanul: "Apúúú! Ha menetközben a
kormányt egyenletesen forgatom jobbra-balra, akkor
milyen görbét írok le?" (Mármint az első
kerékkel.) Nos, mit is mondhatunk ennek a gyerkőcnek? Hát
a precíz matematikai bizonyítást végképp ne! Esetleg annyit:
"Óvatosan forgasd a kormányt! Le ne ess!!!!"
Ed Bender nyugalmazott matematikus
Sports by the Numbers elnevezésű weboldalán keressük meg a
Sherlock Holmes and Bicycle Tracks.pdf fájlt.
Ebben hasznos matematikai tanácsokat találunk
Scherlock Holmes-nak arra a kérdésére,
hogy a földön látott két keréknyom közül melyik lehetett
az első és melyik a hátsó kerék, ami nélkül
nem lehet eldönteni, hogy a kerékpározó merre ment: jobbra
vagy balra?
Esetleg a két nyom nem is egyetlen kerékpártól,
hanem két monociklitől(unicycle), vagyis
egykerekű biciklitől származik? Ez nem Scherlock Holmes,
hanem a matematikusok feladata! Egykerekűt leginkább
csak cirkuszban látunk, érdekességeket róla a
http://hu.wikipedia.org/wiki/Egykerekű oldalon
olvashatunk. [Egy megjegyzés: az egykerekű
bicikli furcsa elnevezés, hiszen "bi"=kettő és
"ciklus"=kör,kerék.]
10.5 A rajzolókészlet (a spirográf)
Pontosabban fogaskerekes rajzolókészlet.
Manapság inkább csak gyerekeknek veszünk ilyent, pedig nem is
olyan régen, kb. 70-80 éve inkább mérnökök használták komoly
munkaeszközként, számítógép hiányában!
Az ötletes szerkezettel mindenféle cikloist,
sőt epi- és hipocikloisokat is rajzolhatunk kedvünkre.
"Szép, de mihaszna ábrák!" - így a Szülők. "Jó, ha egy
pénzdarab gördül csúszás nélkül egy másik körül, vagy fogaskerekek
a masinákban, de NEKEM mire jó ez?" - így az Olvasók. Igen, szinte
minden mechanikus gépben vannak cikloisok, teli van velük az Internet,
legbonyolultabb cikloisok a zongorában vannak, de a laikus
mindennapjaiban mikor és hol?
Egy autó- vagy biciklikerék bármelyik pontja egy
közönséges ciklois mentén halad! ("No és?") A rátapadt
sárdarab is egy darabig, majd az érintő mentén leválik róla és
parabolapályán repül tovább. ("No és?") Eltalálja a hölgyek
vadiúj harisnyáját! Nem! Ha a sárdarab tudná a mechanika és a
matematika törvényeit, akkor bizony nem a harisnyán találná magát,
hanem a sárhányóban! Ennek igazolását nem csak egyetemi tankönyvekben,
hanem például a Szerző
Mindennapi matematika (kézirat) könyvében, vagy egy 1963.
július 14-én megjelent Élet és Tudomány ismeretterjesztő
újság hátlapján is olvashatjuk:
Az Érdeklődőknek még az alább honlapokat ajánlhatjuk még:
http://hu.wikipedia.org/wiki/Ciklois ,
http://en.wikipedia.org/wiki/Spirograph ,
sajnos magyar nyelvű oldal nincs. (A fenti honlapok szerint a
spirográfot Denys Fisher találta fel, a Hasbro Company,
Kahootz Toys angliai cég munkatársa szabadalmaztatta 1965-ben.)
10.6 Egyéb görbék
Végtelen sok nevezetes és fontos görbe
van még: a XIX. századig szinte kizárólag csak fogaskerékkel,
mechanikai áttételekkel oldották meg a gépek mozgását, irányítását
(nem csak a gyermekjátékokat), de még ma is minden mozgó eszköz
alkatrészei "táncolnak" görbék mentén: varrógép, ablaktörlő,
dekopírfűrész, balatoni vízhullámok, sőt még a mobiltelefon
rezgő kijelzője is! Az interneten rengeteg honlapot, ábrát, animációt
találunk, most csak kettőt említünk:
Szalkai István -Dósa György:
Kalkulus II. példatár informatikusoknak ,
és a St. Andrews College angol nyelvű
összefoglaló honlap-ját, ahol az összes görbét és a görbék összes
tulajdonságait megtaláljuk. Ezen a honlapon elolvashatjuk még az összes
matematikus életrajzát is, továbbá más érdekes, fontos történeti
összefüggéseket, adatokat is.
Google-ra fel!
← 9. Tehetetlen
11. Nyugaton →
Szalkai István
Pannon Egyetem
Matematika Tanszék
Veszprém
szalkai@almos.uni-pannon.hu
2014.12.03.