Vizsgatematika az MLMAM112m (Matematikai analízis, Minfo MSc) tárgyhoz

2008/2009 

1. Laplace-transzformáció definíciója, létezésének feltételei, linearitása, hatvány, exponenciális és trigonometrikus függvények Laplace-transzformáltja. Laplace-tanszformált deriváltjai, függvény deriváltjainak Laplace transzformáltja.
   
2. Heaviside függvény, az  f(t-c)  függvény Laplace-transzformáltja. Dirac-delta függvény és Laplace transzformáltja. Konvoluciós integrálokra vonatkozó állítások. Unicitásra vonatkozó állítás, kezdeti- és végérték tétel.
   
3. z-transzformált definíciója, konvergencia feltételek, linearitási tulajdonság, eltolási tétel. nx_n és  aⁿx_n sorozatok z-transzformáltja. Diszkrét konvolúció és z-transzformáltja.
4. Komplex függvénytan elemei (határérték, deriválhatóság, Cauchy-Riemann-egyenletek, tartomány, egyszeresen összefüggő tartomány, görbe és ívhossza, hatványsorok komplex Taylor-sorok).
5. Görbe menti integrálok definíciója és tulajdonságai, kiszámítása. Cauchy-féle integráltétel és következményei, Cauchy-féle integrálformulák.
6. Holomorf függvények Taylor-sorba fejtése. Általános Cauchy-féle integrálformula. Laurent-sor, szinguláris helyek osztályozása. Reziduum fogalma és kiszámítása, Reziduum-tétel.
7. Norma és a normált tér definíciója, példák (Rⁿ, Cⁿ, l₁, l_2, C([a,b],R), L₁([a,b],R), L₂([a,b],R)). Normák ekvivalenciája. Határérték definíciója normált térben, Banach tér. 
   
8. Metrika, metrikus terek, teljes metrikus terek. Konvergencia metrikus terekben. 
9. Skaláris szorzat, pre-Hilbert terek, példák (Rⁿ, Cⁿ, l_2,  L₂([a,b],R)). 
10. Ortonormált és maximális ortonormált rendszerek. Az ekvivalens tulajdonságokra vonatkozó tétel (Fourier-sor, Fourier-együtthatók definíciója,  Parseval-azonosság absztrakt esetben).
11. Maximális ortonormált rendszerek az L₂([0,2π],C), L₂([-π,π],R), L₂([-L,L],R) terekben, Fourier-sorok,  Fourier-sorok pontonkénti konvergenciája. Tiszta szinuszos és koszinuszos Fourier-sorok.