Vizsgatematika az MA6116a (Matematikai analízis, Minfo KL, DL) tárgyhoz

2006/2007 I. félév

1. Laplace-transzformáció definíciója, létezésének feltételei, linearitása, hatvány, exponenciális és trigonometrikus függvények Laplace-transzformáltja. Laplace-tanszformált deriváltjai, függvény deriváltjainak Laplace transzformáltja.
   
2. Heaviside függvény, az  f(t-c)  függvény Laplace-transzformáltja. Dirac-delta függvény és Laplace transzformáltja. Konvoluciós integrálokra vonatkozó állítások. Unicitásra vonatkozó állítás, kezdeti- és végérték tétel.
   
3. Z-transzformált definíciója, konvergencia feltételek, linearitási tulajdonság, eltolási tétel. nx_n és  aⁿx_n sorozatok Z-transzformáltja. Diszkrét konvolúció és Z-transzformáltja.
4. Halmazgyűrű, gyűrű, halmazfüggvény, additiv és szigma-additiv halmazfüggvény és tulajdonságaik.  Elemi halmazok, elemi halmazok mértéke halmazfüggvény, reguláris halmazfüggvények. 
5. Külső mérték, reguláris halmazfüggvények kiterjesztése és a kiterjesztett függvény szubadditivitása. A szimmetrikus differencia definíciója és szerepe, a Lebesgue-mérték és tulajdonságai, mértékterek.
   
6. Mérhető függvények és tulajdonságaik (műveletek mérhető függvényekkel, a m.m. definíciója). Egyszerű függvények, függvények közelítése egyszerű függvényekkel.
7. Egyszerű függvények integráljainak definíciója. Mérhető függvény integrálhatóságának és integráljának definíciója. A Lebesgue-integrál és a Riemann-integrál kapcsolata.
   
8. A Lebesgue-integrál tulajdonságai. Lebesgue-féle monoton konvergencia tétel, nem-negatív függvénysorok integrálása. Lebesgue „nagy” konvergencia tétele.
9. Korlátos változású függvények, Riemann-Stielties integrál definíciója, tulajdonságai, kiszámítása.
10. Komplex függvénytan elemei (határérték, deriválhatóság, Cauchy-Riemann-egyenletek, tartomány, egyszeresen összefüggő tartomány, görbe és ívhossza, hatványsorok komplex Taylor-sorok).
11. Görbe menti integrálok definíciója és tulajdonságai, kiszámítása. Cauchy-féle integráltétel és következményei, Cauchy-féle integrálformulák.
12. Holomorf függvények Taylor-sorba fejtése. Általános Cauchy-féle integrálformula. Laurent-sor, szinguláris helyek osztályozása. Reziduum fogalma és kiszámítása, Reziduum-tétel.
13. Norma és a normált tér definíciója, példák (Rⁿ, Cⁿ, l₁, l_2, C([a,b],R), L₁([a,b],R), L₂([a,b],R)). Normák ekvivalenciája. Határérték definíciója normált térben, Banach tér. Példa nem teljes normált térre.
    
14. Lineáris leképezések, korlátosság, folytonosság. Lineáris leképezés normája. Mátrixnormák. Példa nem korlátos lineáris leképezésre.
15. Metrika, metrikus terek, teljes metrikus terek. Konvergencia metrikus terekben. Metrika a végtelen sorozatok lineáris terén.
16. Skaláris szorzat, pre-Hilbert terek, példák (Rⁿ, Cⁿ, l_2,  L₂([a,b],R)). Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz- egyenlőtlenség. Paralelogramma-egyenlőség és példa olyan normált térre, amely normája nem származtatható skaláris szorzatból. Hilbert-terek.
17. Ortonormált és maximális ortonormált rendszerek. Az ekvivalens tulajdonságokra vonatkozó tétel (Fourier-sor, Fourier-együtthatók definíciója,  Parseval-azonosság absztrakt esetben).
18. Maximális ortonormált rendszerek az L₂([0,2π],C), L₂([-π,π],R), L₂([-L,L],R) terekben, Fourier-sorok,  Fourier-sorok pontonkénti konvergenciája. Tiszta szinuszos és koszinuszos Fourier-sorok.
    
19. Fourier-transzformált, Fourier-féle inverziós formula. A Fourier-transzformált valós függvényekre vonatkozó alakja, valós Fourier-integrál.
    
20. Banach-féle fixpont tétel metrikus és normált terekben. Alkalmazások: Newton-módszer, Jacobi-iteráció.