A tantárgy neve: MATEMATIKA SZIGORLAT

                              (műszaki informatika)

Kódja: MA13x5a

A tantárgy neve angolul: Comprehensive examination in Mathematics

 

Kötelező előtanulmány(ok) kódja(i): MA1113a, MA1214a, MA1114f, MA1143a, MA1245a

 

Tantárgyfelelős neve:  Dr. Győri István

 

A tantárgy oktatásának tanéve/féléve:

     2004/2005.

Óraigény:  E:0    GY:0     L:0

 

 Számonkérés módja: Sz

 

Kreditértéke:  5

 

Oktatási cél: 

 

lineáris algebra

 

1.       Rendezett n-esek, műveletek. Az  (Rn  , +, ·) struktúra alaptulajdonságai. Lineáris függetlenség, összefüggőség. Vektorhalmaz rangja.

2.       Generátorrendszer, bázis. Steiniz-féle kicserélési tétel, dimenzió. Elemi bázistranszformáció.

3.       Altér, generátum, alterek direkt összege.

4.       Lineáris leképezés, magtér, képtér. Mátrix, speciális mátrixok. Lineáris leképezés mátrixa.

5.       Műveletek lineáris leképezésekkel és mátrixokkal.

6.       Lineáris leképezés és mátrix rangja. Lineáris transzformáció és kvadratikus mátrix inverze.

7.       Lineáris egyenletrendszerek, a megoldhatóság feltétele, megoldás bázistranszformációval.

8.       Négyzetes mátrix determinánsa, a determináns tulajdonságai. Lineáris transzformáció determinánsa.

9.       Cramer-szabály. Négyzetes mátrix klasszikus adjungáltja, inverz meghatározása a klasszikus adjungált segítségével.

10.    A vektortér fogalma. Példák. Alapfogalmak absztrakt vektorterekben.

11.    V®W típusú lineáris leképezések. Példák. Izomorf vektorterek. Struktúra-tétel, nullitás-rang tétel.

12.    Skaláris szorzat fogalma K feletti vektorterekben. Skaláris szorzatos terek tulajdonságai.

13.    Ortogonalitás, ortogonális vetület. Gram-Schmidt-féle ortogonalizálás.

14.    Vektorhalmaz ortogonális komplementere. Az ortogonális felbontás tétele. Altérre való ortogonális projekció, Bessel-egyenlőtlenség, a legjobb approximáció tétele.

15.    Lineáris transzformáció diagonalizálhatósága, sajátérték, sajátvektor, sajátaltér fogalma és meghatározásuk. Cayley-Hamilton-tétel.

16.    Skaláris szorzatos terek lineáris transzformációinak diagonalizálhatósága. (Riesz-féle reprezentációs tétel, lineáris transzformáció adjungáltja. Normális, önadjungált, ortogonális (unitér) transzformációk. Spektrál-tétel.)

algebra

 

1.       HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK:  a halmaz és az  e reláció definíciója, axiómák és következményeik. Rendezett n-esek, Descartes szorzat, kapcsolata a többi halmazművelettel, a reláció definíciója, példák. Bináris relációk tulajdonságai. Ekvivalencia relációk és partíciók, kapcsolatuk. Faktorhalmaz.

2.       Részben rendezések, reprezentációjuk a  relációval. Minimális, max., legkisebb és legnagyobb elemek, alsó és felső korlát. Teljes rendezések. Jólrendezett halmazok, a jólrendezési tétel.

3.       A függvény definíciója, Ker(f), őskép, inverz, A/Ker(?)=Iφ.  Ker(φ) ιs az ekvivalencia relációk kapcsolata. ALGEBRAI STRUKTÚRÁK: művelet definíciója. Algebrai struktúra és típusa definíciója, példák. Részstruktúrák, a BA rendezés tulajdonságai. Részstruktúrák metszete. Generátum, végesen generált és ciklikus struktúrák.

4.       Struktúra-homomorfizmusok, izo- és automorfizmusok, példák. Kongruencia relációk, kompatibilis partíciók, kapcsolatuk. Faktorstruktúrák. Homomorfia-tétel.

5.       Algebrák direkt szorzata, példák. FÉLCSOPORTOK: gruppoid és félcsoport definíciója, elemi tételek. A Cayley-tábla. Szabad félcsoportok. Egység-, zérus-, null- és inverzelemek, tulajdonságaik, példák.

6.       CSOPORTOK: Definíció, elemi tételek, példák. Egyszerűsítési szabály, véges félcsoportok. Minden csoport izomorf egy szimmetrikus csoport részcsoportjával.

7.       Mellékosztályok definíciója. Csoport rendje és indexe, elem rendje, Lagrange, Euler és Fermat tételei. Normálosztók, kapcsolat a kongruencia relációkkal és homomorfizmusokkal. Belső automorfizmusok, csoport centruma. Feloldhatóság, Jordan-Hölder tétel.

8.       Permutációcsoportok. Pályák, permutációk szerkezete, transzpozíciók, a szimmetrikus csoportok generátorrendszerei. Az alternáló csoportok, Sn feloldhatósága.

9.       Csoportok reprezentációi: szimmetrikus csoportokkal, Birkhoff tétele, Frucht tétele. Abel csoportok: ciklikus csoportok, csoport exponense, a véges Abel csoportok alaptétele. Cauchy tétele. Véges csoportok osztályozása.

10.    GYŰRŰK: Definíció és példák. Nullelem, előjelszabályok. Nullosztók, kapcsolat az invertálhatósággal, egyszerűsíthetőséggel, nullosztómentesség, a multiplikatív félcsoport. A test definíciója, véges nullosztómentes gyűrű mindig test.

11.    Ideálok: definíció, kapcsolatuk részgyűrűkkel. Egy elem által generált részgyűrű és ideál szerkezete, főidelálok. Kapcsolat homomorfizmusokkal és az oszthatósággal. Oszthatóság: Integritási tartomány. Egységek, oszthatóság, asszociált elemek, irreducibilis és prímelemek. Egyértelmű prímfelbontás. Főideálgyűrűben érvényes az egyértelmű prímfelbontás. Példák.

12.    Euklideszi gyűrűk: definíció, norma, maradékos osztás, példák. Euklideszi gyűrű főideálgyűrű. A prímfelbontás gyakorlati problémája. Az Euklideszi algoritmus az  lnko  és  lkkt  meghatározására, példák.  Lamé tétele. Polinomgyűrűk: R[x] euklideszi gyűrű. Az algebra alaptételének változatai és következményei. Bézout tétele és következményei. Többszörös gyökök és a derivált kapcsolata. A kínai maradéktétel integritási tartományokon.

13.    TESTEK: Kommutatív gyűrűk hányadosteste. Testek definíciója. Testek karakterisztikája, példák. Zm  test <=> m prímszám. Véges testek: Véges nullosztómentes gyűrű test. Wedderburn tétele. Véges testek elemszáma, a multiplikatív részcsoport ciklikussága. Galois testek, példák.

 

diszkrét matematika

 

1.       Permutációk, kombinációk, variációk és kapcsolataik, elemi leszámlálási problémák és módszerek. A binomiális együtthatók és tulajdonságaik, a Stirling formula. A binomiális és polinomiális tételek, Newton tétele. A logikai szitaformula és alkalmazásai, a formula helyességének bizonyítása. Zárt formula  -re.

2.       Rekurzív sorozatok. Az iterációs módszer. Állandó együtthatójú lineáris homogén és inhomogén rekurziók kapcsolata, a klasszikus módszer. Vandermode determinás. Szimultán lineáris rekurziók.

3.       A generátorfüggvény módszer. Newton binomiális sora. Lineáris rekurziók generátorfüggvényei racionális törtfüggvények. Nemlináris rekurziók. Partíciós problémák.

4.       Extremális halmazrendszerek és alkalmazásaik, szimplexek száma Rn -ben.

5.       Gráfelmélet elemi definíciói és tételei, speciális gráfok. Fokszám, részgráf, két- és többpólusú gráfok, körök és utak, összefüggőség, komponensek. Euler körök és utak: definíció, Euler tétele, algoritmus. A kínai postás problémája. A  O(f)  ("nagy ordó")  -jelölés, elnevezések.

6.       Hamilton körök és utak. Definíció és példák. Elvágó prontrendszer. Dirac G., Pósa L. és Erdős P., tételei. Az NP-teljesség naiv definíciója.

7.       Gráfok mátrixai. Adjacencia mátrixok, a mátrix hatványai. A gráf tulajdonságainak leolvasása a mátrixból és hatványaiból. Kapcsolat az izomorfiával, összefüggőséggel, párossággal. Incidencia mátrixok és elemi tulajdonságaik.

8.       Dijkstra algoritmusa legrövidebb út keresésére súlyozott élű gráfokban. Fák és erdők, elemi tulajdonságaik, fák élszáma.

9.       Gráfok izomorfiája, invariáns tulajdonságok, NP-teljessége. Babai L. algoritmusa gyökereztetett fák izomorfiájának eldöntésére. Cayley tétele.

10.    Gráfok síkbateríthetősége: definíció, Jordan tétele. Redukálhatóság, Kuratowsky és Seymour tételei. Euler I. és II. poliédertételei és következményei. K5  és K3,3   nem síkbarajzolható. Fullerének. Felületekre rajzolható gráfok.

11.    Feszítőfák, Kruskál algoritmusa. Alkalmazás majdnem optimális Hamilton kör keresésére  O(n2) időben metrikus súlyfüggvény esetén, teljes gráfokban.

12.    Páros gráfok: a kétpólusú gráfok jellemzése. Turán P. extremális tétele.

13.    Hálózati folyamok: definíciók, példák. Ford-Fulkerson tétele a javítható utak módszerével. Edmonds és Karp tételei. Általánosítások.

 

matematikai analízis I. és II. félév

 

1.         A valós számok.

2.         A komplex számok.

3.         Az Rn  tér szerkezete.

4.         Sorozatok határértéke.

5.         Végtelen sorok.

6.         Függvénysorozatok és függvénysorok.

7.         Függvények folytonossága.

8.         Függvények határértéke.

9.         Valós és komplex változós függvények differenciálhatósága (differenciálható függvény, differenciálási szabályok, magasabb rendű deriváltak, középértéktételek).

10.     Függvények diszkussziója (lokális monotonitás, monotonitás, lokális szélsőérték, konvex és konkáv függvények).

11.     A L’Hospital szabály. A Taylor-formula valós változós függvényekre.

12.     Az elemi alapfüggvények.

13.     Vektor változós függvények differenciálhatósága (differenciálható függvény, irány menti és parciális derivált, Jacobi mátrix, differenciálási szabályok, gradiens).

14.     Lokális szélsőérték létezésének szükséges, valamint elégséges feltétele vektor változós függvények esetén.

15.     A Taylor-formula vektor változós függvényekre.

16.     A primitív függvény.

17.     Az egyváltozós Riemann integrál (az integrál fogalma, integrálhatósági feltételek, az integrál tulajdonságai).

18.     Az egyváltozós Riemann integrál (a Newton-Leibniz tétel, parciális integrálás, integrálás helyettesítéssel, az integrálfüggvény).

19.     Az improprius integrál.

20.     A többváltozós Riemann integrál (a Jordan mérték, az integrál fogalma, integrálhatósági feltételek, az integrál tulajdonságai).

21.     A többváltozós Riemann integrál (az integrál kiszámítása, integrálás helyettesítéssel).

22.     A vonalintegrál.

23.     A többváltozós primitív függvény.

24.     Differenciálegyenletek.

 

matematikai analízis III. félév

 

1.       Laplace-transzformáció definíciója, létezésének feltételei, linearitása, hatvány, exponenciális és trigonometrikus függvények Laplace-transzformáltja.

2.       Laplace-transzformált deriváltjaira, függvény deriváltjainak Laplace transzformáltjára, konvoluciós integrálokra vonatkozó állítások. Heaviside függvény, az  f(. -c)  függvény Laplace transzformáltja, a Laplace transzformált alkalmazása n-ed rendű differenciálegyenlet megoldására.

3.       Z-transzformált definíciója, konvergencia feltételek, linearitási tulajdonság, eltolási tétel. Diszkrét konvolúció definíciója és Z-transzformáltja, Z transzformált alkalmazása egy üzenetátviteli feladatban.

4.       Halmazgyűrű, szigma-gyűrű, halmazfüggvény, additiv és szigma-additiv (megszámlálhatóan additiv) halmazfüggvény (példák is). Lebesgue-mérték felépítése (elemi halmazok és azok tulajdonságai), reguláris halmaz­függvények.

5.       Reguláris halmazfüggvények kiterjesztése és a kiterjesztett függvény szubadditivitása. A szimmetrikus differencia definíciója és szerepe, a Lebesgue-mérték és tulajdonságai, mértékterek (valószínűségszámítási motiváció).

6.       Mérhető függvények és tulajdonságaik (műveletek mérhető függvényekkel, az m.m. definíciója). Egyszerű függvények és egy fontos alaptétel.

7.       Egyszerű függvények integráljainak definíciója. Mérhető függvény integrálhatóságának és integráljának definíciója.

8.       A Lebesgue-integrál néhány tulajdonsága (tételek, következmények, állítások).

9.       Lebesgue-féle monoton konvergencia tétel, nem-negatív függvénysorok integrálása. A Faton-lemma, Lebesgue “nagy” konvergencia tétele és egy következménye.

10.    Riemann-féle integrál és a Lebesgue-féle integrál kapcsolata, integrálfüggvény. Riemann-Stielties integrál (korlátos változású függvény, integrál definíciója, tulajdonságai).

11.    A Lebesgue- és Riemann-Stieltjes integrál kapcsolata és egy valószínűségszámítási alkalmazás.

12.    Lineáris tér definíciója és tulajdonságai (példák is). Operátorok, leképezések (operátorok összege, szorzata, inverze példákkal).

13.    Norma és a normált tér definíciója, példák. Határérték definíciója normált térben, Banach tér.

14.    Folytonos lineáris operátorok, operátorok normája.

15.    Kontraktív leképezés és fixpontok. Alkalmazás numerikus közelítésekben. Schauder-féle fixpont tétel.

16.    Fixpont-tétel alkalmazása differenciálegyenletek megoldásainak létezésére és egyértelműségére vonatkozó állítás bizonyításában.

17.    Metrikus terek és a kontrakciós elv.

18.    Rendezett Banach terek és Knaster-Tarski féle fixpont tétel, alkalmazással. *

19.    Hilbert tér (belső szorzat, ebből származtatott norma, konvergencia teljesség). Ortonormált rendszerek, azok teljessége, és az ekvivalens tulajdonságokra vonatkozó tétel.

20.   L2 tér és szerkezete. l2 tér és szerkezete.

21.    Fourier-transzformáltak. Fourier-integrálok.

22.    Komplex függvénytan elemei.

23.    Görbe menti integrálok, Cauchy-féle integráltétel. Cauchy-féle integrálformulák.

24.    Holomorf függvények Taylor-sorba fejtése, zéróhelyek. Laurent-sor, szinguláris helyek, Rouché tétele.

25.    Reziduum-tétel.

 

* A 18. tétel azok részére kimarad, akik a 2004/05-ös tanévben hallgatták az MA1114f előadást.

 

Ajánlott tankönyvek, jegyzetek: 

 

 

Tanszékvezető aláírása:

 

 

 

A tárgy oktatójának aláírása: