Vizsgatematika
MA1212i, 2006/07 II. félév

  1. Elsőrendű skaláris lineáris differenciálegyenletek (homogén, inhomogén egyenletre vonatkozó tételek és bizonyításuk, integrálótényező módszere, konstans variációs formula levezetése).
  2. Elsőrendű nemlineáris differenciálegyenletek: Peano tétele (bizonyítással). Példa olyan kezdeti érték feladatra, amelynek nem egyértelmű a megoldása.
  3. Gronwall-Belmann-egyenlőtlenség (bizonyítással).
  4. Nemlineáris differenciálegyenletek megoldásai egyértelműségére vonatkozó állítás és bizonyítása.
  5. Megoldások folytathatósága, maximális megoldás. Példa olyan kezdeti érték feladatra, amelynek maximális megoldása véges intervallumon definiált.
  6. Másodrendű konstans együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldásának képlete, levezetésekkel.
  7. Lineárisan független megoldások, alaprendszer, Wronski-determináns definíciója. A Wronski-determinánsra vonatkozó állítások. Abel-Liouville-tétele bizonyítással.
  8. Konstans variációs módszer másodrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlet partikuláris megoldására.
  9. Euler-egyenlet megoldási módszere.
  10. Magasabbrendű skaláris lineáris differenciálegyenletek. Wronski-determináns, Abel-Liouville-tétel és további állítások.
  11. Lineáris differenciálegyenlet-rendszerek, fundamentális rendszer, Wronski-determináns, Abel-Liouville-tétel és további állítások.
  12. Konstans együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer és általános megoldása. Általánosított sajátvektor, geometriai, algebrai multiplicitás.
  13. Fundamentális mátrix és tulajdonságai, bizonyításokkal. Különböző fundamentális mátrixok kapcsolata. Cauchy-mátrix fogalma és tulajdonságai.
  14. Mátrix exponenciális függvény definíciója és tulajdonságai.
  15. Inhomogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer partikuláris megoldásának levezetése. Konstans variációs formula általános esetben és konstans együtthatós esetben.
  16. Autonóm differenciálegyenlet, megoldás trajektóriájának fogalma, tulajdonságai. Egyensúlyi helyzet és kapcsolódó állítások.
  17. Stabilitás, aszimptotikus stabilitás, instabilitás fogalma. Lineáris rendszer stabilitására vonatkozó állítások.
  18. 2x2-es konstans együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer egyensúlyi helyzetének osztályozása, a trajektóriák grafikonjai.
  19. Linearizált stabilitás tétele.
  20. Ljapunov-függvény fogalma, pozitív/negatív (szemi)definit függvények. Ljapunov-féle stabilitási tételek.